次に，以下のような反応の場合，Aから（Bを経由して）Cに向かう反応の時間を考えていきましょう．
\(\Large A \underset{k_A}{\overset{k_B}{\rightleftharpoons}} B \overset{k_C}{\rightharpoonup} C\)
この場合には，もちろん，A→B→C，と言う反応もありますが，B→Aに戻る反応もあるので，可能性は無限にあります．
そこで，以下のように反応式を書き換えます．
\(\Large \require{AMScd} \begin{CD} A \overset{k_B}{\rightharpoonup} B \overset{k_C}{\rightharpoonup} C \\
@VVk_AV\\A \\
@VVk_AV\\
\hspace{ 30pt } B \overset{k_C}{\rightharpoonup} C \\
@VVk_AV\\A \\
@VVk_AV\\
\hspace{ 30pt } B \overset{k_C}{\rightharpoonup} C \\
\vdots \\
\end{CD} \)
まっすぐCまで進むケース，一回Aに戻るケース，二回Aに戻るケース．．．．となりますね．
それぞれの場合の反応時間，割合を考えていきましょう．
Case 0 ： A→B→Cへ直接移行する場合
反応時間は，
\(\Large t_{A \rightarrow B} = \frac{1}{k_B} \)
\(\Large t_{B \rightarrow C} = \frac{1}{k_A+k_C} \)
\(\Large t_0 = t_{A \rightarrow B \rightarrow C} = \frac{1}{k_B} + \frac{1}{k_A+k_C} \)
この計算は，ここ，をご覧ください．
\(\Large p_0 = p_{A \rightarrow B \rightarrow C} = \frac{k_C}{k_A+k_C} \)
この計算は，ここ，をご覧ください．
Case 1 ： A→B→A→B→Cと一回戻る場合
反応時間は，
\(\Large t_{A \rightarrow B} = \frac{1}{k_B} \)
\(\Large t_{B \rightarrow A} = \frac{1}{k_A+k_C} \)
\(\Large t_{A \rightarrow B} = \frac{1}{k_B} \)
\(\Large t_{B \rightarrow C} = \frac{1}{k_A+k_C} \)
\(\Large t_1 = t_{A \rightarrow B \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C}
= \frac{1}{k_B} + \frac{1}{k_A+k_C} +\frac{1}{k_B} + \frac{1}{k_A+k_C} \\
\hspace{ 120pt } = 2 \cdot \left( \frac{1}{k_B} + \frac{1}{k_A+k_C} \right) \\
\)
\(\Large p_1 = p_{A \rightarrow B \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C} = \frac{k_C}{k_A+k_C} \frac{k_A}{k_A+k_C}\)
Case n ： A→B→(A→B)n→Cとn回戻る場合
\(\Large t_n = (n+1) \left( \frac{1}{k_B} + \frac{1}{k_A+k_C} \right) \)
\(\Large p_n = \frac{k_C}{k_A+k_C} \left( \frac{k_A}{k_A+k_C} \right)^n \)
となります．従って，n回目の経路（n=0から）での経過時間とその割合の積は，
\(\Large \begin{eqnarray} P(n) &=& (n+1) \left( \frac{1}{k_B} + \frac{1}{k_A+k_C} \right) \times \frac{k_C}{k_A+k_C} \left( \frac{k_A}{k_A+k_C} \right)^n \\
&=& (n+1) t_1 \cdot (1- \alpha)^n \cdot \alpha \\
\end{eqnarray} \)
\(\Large \hspace{ 80pt } ( \alpha \equiv \frac{k_A}{k_A+k_C} ) \)
\(\Large \hspace{ 80pt } ( t_1 \equiv \frac{1}{k_B} + \frac{1}{k_A+k_C} ) \)
となります．この値をn=0から∞まで足せばよいのです．
次ページに，この計算を行っていきましょう．